Artículo Académico / Academic Article
Recibido: 12-10-2018, Aprobado tras revisión: 16-01-2019
Forma sugerida de citación: Pinzón, S; Pavón. W. (2019). “Diseño de Sistemas de Control Basados en el Análisis del Dominio en
Frecuencia”. Revista Técnica “energía”. No. 15, Issue II, Pp. 76-82
ISSN On-line: 2602-8492 - ISSN Impreso: 1390-5074
© 2019 Operador Nacional de Electricidad, CENACE
Design of Control Systems Based on Frequency Domain Analysis
Diseño de Sistemas de Control Basados en el Análisis del Dominio en
Frecuencia
S. Pinzón
1
W. Pavón
1
1
Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Politécnica Salesiana, Quito, Ecuador
E-mail: spinzon@est.ups.edu.ec; wpavon@ups.edu.ec
Abstract
The paper presents an analysis of the systems in the
frequency domain, given importance and wide use for
different areas of science and engineering as the
design of control systems. Linked to the analysis of the
domain in frequency, it deals with the use of the
graphical tool of the diagrams of Bode, which is used
to visualize the required actions so that the proposed
systems are stable through the inclusion of various
controllers like PI or PID. The results obtained make
it possible to corroborate the importance and the
potential of the analysis in the frequency domain for
common cases of systems expressed as transference
functions. The proposed methodology is applied in the
design of controller in operation, control of electrical
power systems or control or power converters.
Index terms Frequency Analysis, Bode Diagrams,
System Stability, Design of Control Systems, PID
Control.
Resumen
El trabajo presenta un análisis de los sistemas en el
dominio de frecuencias, dado importancia y amplio
uso para diferentes áreas de la ciencia y la ingeniería
como el diseño de sistemas de control. Vinculado al
análisis del dominio en frecuencia, se ocupa del uso de
la herramienta gráfica de los diagramas de Bode, que
se utiliza para visualizar las acciones necesarias para
que los sistemas propuestos sean estables a través de
la inclusión de varios controladores como PI o PID.
Los resultados obtenidos permiten corroborar la
importancia y el potencial del análisis en el dominio
de frecuencias para los casos comunes de sistemas
expresados como funciones de transferencia.
Palabras clave Análisis Frecuencial, Diagramas de
Bode, Estabilidad de Sistemas, Diseños de Sistemas de
Control, Control PID.
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Revista Técnica “energía”, Edición No. 15, Issue II, Enero 2019
1. INTRODUCCIÓN
El diseño de sistemas de control puede ser efectuado
tanto en el dominio del tiempo como en el de frecuencia.
La selección de uno u otro método generalmente se basa
en las preferencias del diseñador, sin embargo, el método
de análisis de la respuesta en frecuencia, además de
aparentar ser el de mayor uso, tiene la ventaja de ayudar
en gran medida a determinar las funciones de
transferencia o en su defecto establecer el espacio de
estados de un sistema a partir de mediciones o toma de
datos en una planta [1], lo que en diversas ocasiones
resulta crucial para el análisis del controlador [2].
Controlador Planta
Turbina - Generador
+
-
Figura 1. Diagrama de Control.
Diversas aplicaciones basadas del análisis en el
dominio frecuencial han sido planteadas en la literatura.
En [3], se realiza un estudio numérico en el dominio
frecuencial para problemas electromagnéticos basados en
el cálculo exterior discreto. Incluso en diseño de filtros,
como en [4], donde se propone un algoritmo para la
selección automática del filtros que permitan suprimir el
ruido generado naturalmente por trenes de pulsos. El
análisis en el dominio frecuencial ha sido también
aplicado en procesamiento de señales [5], [6], estudio de
vibración de estructuras [7], respuestas sísmicas [8],
medición de índices de refracción [9], espectroscopia
[10], análisis de los sonidos producidos durante
perforaciones [11], entre otros [12]–[14]. También, en el
campo eléctrico se han desarrollado estudios
encaminadas a la implementación de sistemas de
conversión de energía mareomotriz usando una turbina
regulada por pitch y un generador de inducción, el
análisis en el dominio frecuencial en dicha investigación
es empleada a la hora de considerar estrategias de control
de velocidad que permitan operar al sistema al máximo
de su potencia [15]. En [16], se presenta un método de
análisis del acople rotor-estator para detección de campos
inestables de flujo dentro de turbo máquinas mediante el
método de dominio de frecuencial.
En el diseño de controladores se usan además
representaciones gráficas tales como diagramas de Bode,
diagramas de Nyquist o diagramas de Nichols, cuyo uso
se justifica en la posibilidad de representar un amplio
espectro de frecuencias en un solo gráfico, o la aparición
de parámetros como margen de fase o margen de
ganancia, mismos que resultan cruciales para la búsqueda
de soluciones óptimas que lleven a los sistemas a la
estabilidad o a su vez ayuden a sintonizar diferentes
controladores [17], [18], [19] .
En el presente estudio se abarca el análisis de la
respuesta en frecuencia empleando diagramas de Bode
para su representación gráfica. En la sección II se
presenta la formulación matemática ligada al análisis de
la respuesta en frecuencia y los diagramas de bode, en la
sección III se aborda el diseño de controladores mediante
la respuesta en frecuencia incluyendo el concepto de
criterios de margen de ganancia y margen de fase, con la
intención de analizar la importancia de estos en cuanto a
evaluar la estabilidad de un sistema y con ello identificar
los posibles escenarios y estrategias a llevarse a cabo para
de ser el caso, llevar al sistema a la estabilidad,
finalmente en la sección IV se plantean las conclusiones
sobre el estudio realizado.
2. FORMULACIÓN MATEMÁTICA
Dada una función de entrada
()xt
de carácter
sinusoidal, la salida de dicha señal
()yt
vendrá dada por
(1).
( ) sin( )
( ) ( ) sin( )
x t A t
y t A G j t
(1)
Para realizar el análisis frecuencial es importante
recabar varios aspectos de importancia en el dominio
frecuencial tales como magnitud (2) y fase (3).
22
( ) ( ) Im ( ) Re ( )M G j G j G j
(2)
1
Im ( )
( ) ( ) tan
Re ( )
Gj
Gj
Gj
(3)
De cara a la implementación de diagramas de bode,
también es necesario conocer la expresión que permite
transformar una magnitud a decibelios (4).
10
( ) 20log ( )
dB
G j G j
(4)
3. DISEÑO MEDIANTE RESPUESTA EN
FRECUENCIA
La ventaja del diseño de controladores en el dominio
frecuencial se debe a que los factores producto y cociente
de las funciones de transferencia se convierten en sumas
o restas [18].
De la mano al análisis frecuencial, se emplean
herramientas gráficas, siendo la de mayor los diagramas
de Bode, que permiten representar la respuesta de un
sistema en dos gráficas. Un diagrama de magnitud en
donde se grafica la relación de amplitud en decibelios
contra el logaritmo de la frecuencia. El valor de amplitud
expresado en decibelios se obtiene mediante la expresión
(4) citada anteriormente. El diagrama de fase por su
parte, presenta una gráfica del ángulo de fase de la
función de transferencia contra el logaritmo de la
frecuencia [17], [18].
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Pinzón et al. / Diseño de Sistemas de Control Basados en el Análisis del Dominio en Frecuencia
El análisis del margen de ganancia y margen de fase
para el diseño de controladores supone una estrategia
interesante e información crucial sobre las posibles
medidas que se pueden tomar frente a la aparición de
respuestas inestables, esto ya que son medidas de
estabilidad relativa. Así pues, todo sistema es estable
cuando cumple con el criterio (5).
00
G
MM
(5)
Los conceptos de margen de ganancia y fase no solo
indican la estabilidad en términos absolutos, también
permiten dar un margen sobre qué tan lejos está en
sistema de la estabilidad o inestabilidad, esto ya que
mientras más pequeños se hagan los valores del margen
de ganancia y de fase más tenderá el sistema hacia la
inestabilidad y viceversa [18].
3.1. Casos de Estudio
A continuación, se proponen varias funciones de
transferencia en las que se determinará el margen de
ganancia y fase para posteriormente corroborar el
comportamiento del sistema de forma que sea posible
definir si el mismo es estable o inestable. De ser
inestables se aplicarán diversos controladores hasta llegar
a la estabilidad.
Dada la función de transferencia (6), se obtiene el
diagrama de Bode mostrado en la figura 2.
2
1
1
Gs
s
(6)
Figura 2: Diagrama de Bode de G(s).
La respuesta en magnitud del sistema para una
frecuencia unitaria tiene a infinito, mientras que la
respuesta en fase para la misma frecuencia cambia de 0 a
-180 grados de forma abrupta.
Al dotar al sistema de una entrada del tipo escalón
unitario, se obtiene la respuesta mostrada en la figura 3.
Dicha gráfica presenta dos señales correspondientes a la
respuesta en lazo abierto y lazo cerrado. Para la respuesta
en lazo abierto simplemente se incluyó a la planta la
entrada escalón y como resultado se obtiene una señal no
amortiguada, haciendo el sistema inestable, dicha señal
posee un valor pico de dos. En cambio, para la respuesta
en lazo cerrado, se realizó una realimentación unitaria a
la planta obteniendo una señal no amortiguada que
provoca que de igual forma el sistema sea inestable, a
diferencia de la respuesta en lazo abierto, la amplitud de
la respuesta de lazo cerrado es unitaria y la señal
periódica tiene una mayor frecuencia de oscilación.
Figura 3: Respuesta escalón del sistema en lazo abierto y cerrado.
Con la intención de llevar al sistema más cerca de la
estabilidad, se coloca en serie un controlador
proporcional integral cuya función de transferencia
responde a (7).
4
C
Gs
s
(7)
En la figura 4 se puede apreciar el diagrama de bode
para la planta el controlador y la implementación del
controlador en serie a la planta. Para cada uno de ellos se
especifica su margen de fase obteniendo como resultado
que solamente el controlador presenta una respuesta
estable. De esta forma, aún después de haber incluido el
controlador a la planta la totalidad del sistema sigue
siendo inestable, por lo que se debe considerar otro tipo
de control que acerque aún más al sistema a la
estabilidad.
El controlador proporcional integral causa una
atenuación y el desplazamiento de la respuesta en fase de
-90 grados. La ganancia contenida en el controlador
contribuye con una amplificación de 12.04 decibelios y
el integrados con una atenuación de 20 decibelios por
década. Estas implicaciones ligadas al controlador
influyen directamente a la planta provocando un cambio
en su respuesta en magnitud y fase.
Para corroborar la inestabilidad del sistema se
implemente nuevamente una realimentación unitaria al
mismo y como entrada se incluye una señal escalón
unitario, el resultado obtenido se presenta en la figura 5.
Como se puede apreciar la salida del sistema
aproximadamente a los noventa segundos converge, lo
que indica que efectivamente el sistema es inestable, sin
embargo, en contraste a la respuesta inicial, en la que no
se incluía ningún tipo de control esta respuesta no posee
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Revista Técnica “energía”, Edición No. 15, Issue II, Enero 2019
el comportamiento no amortiguado y parte de la
estabilidad.
Figura 5: Respuesta del sistema en lazo cerrado debido a una
entrada escalón.
El nuevo controlador por considerar será del tipo
proporcional, integrativo y derivativo (PID) con función
de transferencia (8).
4 1 1
C
as bs
Gs
s
(8)
Los valores calculados para que el sistema en lazo
cerrado no salga de control se establecen los valores para
a y b son 5 y 0.25 respectivamente. El diagrama de bode
de la planta, el nuevo controlador y la inclusión del
controlador en serie a la planta se presenta en la figura 6.
Con la inclusión del controlador PID se lograr que el
sistema sea estable, como se puede apreciar en la figura,
el margen de fase ahora se ubica en 114 grados, y al ser
mayor a cero implica que el sistema alcanzó la
estabilidad.
Al efectuar una realimentación unitaria del sistema y
dotarlo de una entrada escalón unitario se obtiene la
respuesta también mostrada en la figura 5. La señal
obtenida presenta un comportamiento estable fijándose
en uno luego de experimentar un pico en su amplitud.
El valor a contribuye con hasta noventa grados de
adelanto de fase en la región de altas frecuencias.
Mientras que el valor de b proporciona un margen de fase
de al menos cincuenta grados y un margen de ganancia
infinito. En conjunto los datos ligados al controlador
hacen que el sistema diseñado satisfaga los criterios de
estabilidad haciendo que el sistema adquiera un
comportamiento aceptable.
El análisis del lugar de las raíces del sistema también
puede suponer un método satisfactorio que permita
comprobar la estabilidad de la planta al haber sido
incluido un controlador en serie a la misma. En la figura
7 se muestra el diagrama de polos y ceros del sistema, en
la misma se puede apreciar que los polos se ubican a la
izquierda del eje imaginario, dos de los polos son
complejos conjugados y uno real, por otra parte, los ceros
ad- quieren valores reales negativos y también se ubican
a la izquierda del eje imaginario.
Figura 4: Diagrama de Bode de la planta G(s), controlador proporcional integral Gc(s) y Gc(s) + G(s)
Figura 6: Diagrama de Bode de la planta y el sistema con controlador PID con la respuesta debido a una entrada escalón en lazo
cerrado.
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Pinzón et al. / Diseño de Sistemas de Control Basados en el Análisis del Dominio en Frecuencia
Figura 7: Polos y ceros de la planta en serie a un controlador PID
con realimentación unitaria.
En la figura 8 se muestra el diagrama de Bode de la
función de transferencia de la planta en serie al
controlador en lazo abierto. Como se puede apreciar el
margen de fase se ubica en 55 grados, al ser positiva el
sistema es estable aun en lazo abierto.
Ahora, se propone centrar el análisis de sistemas de
control al aplicarlos a un generador eléctrico síncrono,
cuya función de transferencia está definida por (9); el
modelo se obtuvo a través del método de identificación
dinámico por medio del test escalón, que busca, frente a
variaciones abruptas en la magnitud del escalón,
reconocer variaciones de la tensión en el generador.
0.0515
0.9705
0.0969 1
s
s
G s e
s
(9)
Además de lo anterior es importante considerar que la
planta sin consideraciones adicionales se comporta de
forma inestable, esto se puede observar en la figura 10,
que muestra la respuesta en lazo abierto del sistema.
El diagrama de bode de la función de transferencia
que representa la implementación del controlador
acoplado al generador se puede observar en la figura 10.
La respuesta en magnitud experimenta una variación
constante de diez decibelios por década, en frecuencias
menores a diez; para frecuencias mayores la magnitud
permanece constante fijándose en cincuenta decibelios.
En la respuesta en fase, para frecuencias menores a cien
rad/segundo el ángulo se mantiene en cero, mientras que
frecuencias mayores provocan un decremento progresivo
del ángulo a medida que aumenta la frecuencia tendiendo
a menos infinito.
Figura 8: Diagrama de Bode de la planta y el sistema con controlador PID en lazo abierto.
Figura 9: Respuesta en lazo abierto del sistema.
Figura 10: Diagrama de Bode del generador eléctrico integrada con el controlador propuesto
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Revista Técnica “energía”, Edición No. 15, Issue II, Enero 2019
El controlador propuesto consta de dos ceros y dos polos
ubicados en el origen, tal y como se aprecia en la
ecuación (10). En cuanto a valores de las constantes a y
b se consideraron como 0.05 y 0.25 respectivamente,
logrando en conjunto a todo el controlador, alcanzar la
compensación del sistema y con ello su estabilidad. Los
valores empleados, se obtuvieron a través de pruebas
iterativas en las que se verifico de forma continua la
estabilidad o inestabilidad del sistema. El resultado de
aplicar el controlador a la planta arroja la respuesta
mostrada en la figura 11, con sistema en lazo cerrado.
2
4 1 1
C
as bs
Gs
s
(10)
La inserción de procedimientos de control al sistema
eléctrico de potencia se sustenta en la necesidad de
garantizar la estabilidad del sistema eléctrico, por lo que
es indispensable establecer estrategias de control que
permitan encontrar los parámetros idóneos con los que se
asegure un correcto funcionamiento de generadores,
logrando con ello preservar la estabilidad del sistema.
Los problemas de estabilidad en sistemas eléctricos
de potencia pueden darse por ángulo o tensión, y se
estudian considerando la capacidad de las máquinas de
recobrar el sincronismo tras perturbaciones como
variaciones en la demanda de potencia. Allí, los sistemas
de control cumplen un rol esencial, pues evitan que las
máquinas en un momento dado operen en regímenes
inestables y atenten contra el resto del sistema eléctrico.
De ahí que se requiera el estudio de mecanismos de
control como el aplicado en el presente estudio sobre el
generador, pues sirven de punto de partida para
identificar aquellos controladores que pueden presentar
una solución interesante antes los problemas que generan
inestabilidad en un sistema eléctrico, y no solo eso,
también se pueden incluir controladores a la hora de
buscar garantizar aspectos como una correcta
sincronización de un generador a la red, control sobre
temperatura o vibración, que permitan efectuar un
mantenimiento oportuno sobre los equipos, entre otros.
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
El diseño de sistemas de control basados en la
respuesta en frecuencia supone la ventaja de permitir
predecir él comportamiento de un sistema al incluir un
controlador, ya que juntamente con las herramientas
gráficas tanto la respuesta en frecuencia de la planta y el
controlador pueden ser sumadas permitiendo de forma
clara implementar mecanismos de control para garantizar
la estabilidad del sistema.
La respuesta en frecuencia de un sistema presenta
ventajas interesantes puesto que se basa en el análisis del
comportamiento de cualquier señal periódica, de forma
que, para calcular la salida de un sistema lineal ante
cualquier señal periódica, sólo es necesario conocer la
respuesta de este ante un conjunto de señales sinusoidales
de frecuencias múltiplos de la señal original.
Los criterios de margen de ganancia y fase representan
un criterio útil y apropiado para determinar la estabilidad
de un sistema, para los casos propuestos se pudo verificar
como este concepto era válido ya que a medida que el
sistema propuesto por acción de controladores se acerca
al margen de ganancia, la respuesta va tendiendo a la
inestabilidad.
La metodología propuesta se aplicará a trabajos futuros
en el control, operación en sistemas eléctricos de
potencia y control de convertidores de potencia
destinados a generadores distribuidos utilizando energía
renovable.
Se plantea como trabajos futuros experimentos de
identificación de algunas máquinas eléctricas en el
tiempo continuo y discreto. Aplicar el controlador
diseñado en un sistema real y presentar los resultados
alcanzados. Implementar el control en un sistema en
tiempo real, con esto verificar el funcionamiento del
procedimiento de diseño planteado.
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Stanislao Pinzón Masache. -
(Y’1996-M’10). Student of Electrical
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IEEE PES technical chapter. His
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operational optimization in power systems, application of
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energetic efficiency.
Wilson Pavón Vallejos. -
(Y’1989-M’10). Received the B.S.
of Electrical Engineering from the
ESPE (Army Polytechnic School) in
Ecuador in 2014, and the MSc
degree in Automation and Control in
2016 from Newcastle University in
United Kingdom. His areas of
interest are renewable energy,
energy efficiency, techniques of control of Power
converters and inverters, artificial intelligence as
technique of control. He joined as occasional professor
of Universidad Politécnica Salesiana in Ecuador.
82
