Los sistemas de potencia están basados en corriente alterna (AC) en una configuración trifásica, de esta manera las magnitudes eléctricas correspondientes a voltajes y corrientes pueden ser representadas como formas de onda sinusoidales, en función del tiempo caracterizadas por una amplitud, velocidad angular y ángulo de desfase, como se muestra en (1). [21]

A partir de (1) es posible utilizar la identidad de Euler (2) para expresar una forma de onda sinusoidal como un fasor, la cual se presenta en (3). [22]

Si se considera la frecuencia como constante, y, por lo tanto, la velocidad angular constante, se puede despreciar el termino e jωt . De la misma forma, se puede considerar el fasor solamente en función del valor eficaz o valor RMS de la onda sinusoidal. En (4) se presenta la representación fasorial de la sinusoidal en su forma exponencial, polar y rectangular. [22]

Esta definición de fasor es la que se utiliza en el estándar IEEE C37.118.1 [6], y en este se aclara que, para poder realizar comparaciones, todos los fasores deben estar referidos a la misma velocidad angular.

En la Fig. 1 se presenta una comparación grafica entre la forma de onda instantánea de una sinusoidal (1), y la representación fasorial de la misma (4).

Figura 1:

El valor eficaz de una onda sinusoidal pura se puede obtener al dividir la amplitud de la sinusoidal para 2 . Sin embargo, las formas de onda asociadas a voltajes y corrientes de un sistema eléctrico no son puramente sinusoidales, es decir, presentan alguna distorsión. De modo que se pueda obtener el valor eficaz de una onda sinusoidal distorsionada se puede utilizar la definición de valor eficaz, que se presenta en (5). [13]

Cabe destacar, que para el cálculo del valor RMS de una señal periódica cualquiera, se debe integrar sobre cada periodo o ciclo de la señal de forma individual. [13] De esta forma, cada ciclo de una señal periódica tendrá asociado un valor RMS.

Un sincrofasor es una representación de una forma de onda instantánea similar a un fasor, como en (1), con la consideración de que el ángulo de desfase 𝛿 está referenciado a una onda sinusoidal a frecuencia fundamental cuyo parámetro de tiempo este sincronizado con el tiempo UTC (Coordinated Universal Time). Este valor de tiempo debe provenir de una fuente de sincronismo de alta precisión, de modo que se asegure una precisión en tiempo de 1 microsegundo. [6]

El ángulo de desfase total corresponde al desplazamiento en tiempo entre la onda sinusoidal de referencia, y la forma de onda instantánea. [14] A partir de (1) se puede establecer el valor de la amplitud en función del tiempo y el valor de la velocidad angular en términos de una frecuencia en función del tiempo, como se muestra en (6).

Si se considera la frecuencia nominal del sistema como 𝑓 0 , entonces se puede definir el termino 𝑔 𝑡 = 𝑓 𝑡 − 𝑓 0 , el cual representa la variación de frecuencia en el tiempo. De (6) el termino 𝑓 𝑡 ∗𝑡 puede ser reemplazado por la integral de la frecuencia en el tiempo. [6] En (7) se presenta la aplicación de estas consideraciones.

Al aplicar la identidad de Euler a (7), se obtiene la representación fasorial de un sincrofasor, como se muestra en (8).

De forma similar a un fasor, para la representación fasorial de la forma de onda sinusoidal se utiliza su valor eficaz y se considera el valor de 𝑒 𝑗 𝜔 0 𝑡 como constante. [6] El sincrofasor asociado a la forma de onda original se muestra en (9).

Al comparar la ecuación de un fasor (4) con la ecuación de un sincrofasor (9), se observa que el resultado de referenciar la forma de onda 𝑥(𝑡) a una onda sinusoidal pura a la frecuencia nominal 𝑓 0 , resulta en la introducción de una componente de desfase angular adicional al desfase angular original 𝛿, la cual es resultado directo de la variación de la frecuencia de la forma de onda 𝑥 ?? en el tiempo.

En la Fig. 2 se muestra el efecto sobre el ángulo del sincrofasor resultado de la referenciación de la forma de onda a una sinusoidal pura a frecuencia fundamental. En este caso se ha considerado que la forma de onda tenga un desfase angular 𝛿 igual a cero.

Figura 2:

El ángulo debido a la diferencia de frecuencia crece con el tiempo, y considerando la naturaleza periódica de ambas formas de onda, esto conlleva a que el ángulo se incremente hasta un valor máximo de 180°, y seguido a ello empiece a crecer desde un ángulo de -180°.

De la Fig.2 se puede verificar que, en una forma de onda a frecuencia distinta a la fundamental, no existe coincidencia entre el cruce por cero de la referencia y el cruce por cero de la forma de onda.

En la Fig.3 se muestra el efecto sobre el ángulo del sincrofasor resultado de la referenciación de la forma de onda a una sinusoidal pura a frecuencia fundamental, considerando un ángulo de desfase 𝛿 en la forma de onda.

Figura 3:

Al no considerar un desfase 𝛿, ver Fig. 2, se puede observar que el desfase en tiempo respecto a la señal de referencia va incrementando con el tiempo. Cuando el desfase 𝛿 se considera, ver Fig. 3, se observa las dos componentes del ángulo de un sincrofasor, el ángulo de desfase 𝛿 es el comprendido entre las líneas cortadas roja y verde, y el ángulo resultante de la diferencia de frecuencias es el comprendido entre las líneas cortadas verde y azul. De este modo, el ángulo del sincrofasor está comprendido entre las líneas cortadas roja y azul.

Originalmente, una PMU era un equipo especifico capaz de realizar la estimación de los sincrofasores, haciendo uso de una fuente de sincronismo en tiempo de alta precisión, a partir de señales correspondientes a las mediciones de magnitudes eléctricas. Luego asocia dicha información a una estampa de tiempo, y es capaz de transmitir los datos sincrofasoriales a un PDC, basándose en los lineamientos de los estándares IEEE C37.118.1 y IEEE C37.118.2. [5] [9] Actualmente, los IEDs comerciales de diversas marcas han sido integrados con ambos estándares, de modo que adicional a las funciones de control y protección que estos dispongan, también pueden operar como PMUs. [10]

Una PMU realiza el proceso de estimación fasorial con el cual obtiene los datos sincrofasoriales de voltajes y corrientes. Adicionalmente, la PMU realiza el cálculo de la frecuencia de la señal de voltaje y de la razón del cambio de dicha frecuencia (ROCOF). El ROCOF corresponde a la derivada en el tiempo de la frecuencia de la forma de onda, como se muestra en (10). [6]En la Fig. 4 se presenta un diagrama de bloques en donde se muestra un modelo simplificado de una PMU.

Figura 4:

El estándar C37.118.2 establece que el paquete de datos generado por una PMU puede incluir señales analógicas y digitales, las cuales serán complementarias a los datos sincrofasoriales. [7]

Cada paquete de datos de generado es asociado a una estampa de tiempo de alta precisión, la cual se obtiene de la misma fuente de sincronismo que es utilizada para el cálculo de los sincrofasores. [6] La ventaja de tener cada paquete de datos referenciado en tiempo es que hace posible alinear los datos provenientes de PMUs instaladas en diferentes estaciones de medición. [5]

La fuente de sincronismo en tiempo de alta precisión utilizada en una PMU puede provenir de un reloj GPS, el cual obtiene la señal de sincronismo en tiempo de los satélites que componen el sistema de posicionamiento global (GPS), o pueden integrar el estándar PTP (Precision Time Protocol), el cual maneja sincronismo en tiempo en una infraestructura de red, considerando mantener la precisión del tiempo en todos sus puntos. [9]

El estándar C37.118.1 define los índices TVE (Total Vector Error), FE (Frequency measurement error), y RFE (ROCOF measurement error) para evaluar la estimación fasorial de una PMU. [6] Estos índices se calculan con las ecuaciones (11), (12) y (13), respectivamente

El índice TVE se calcula a partir de la parte real e imaginaria del fasor estimado, 𝑋 𝑟 y 𝑋 𝑖 , y de la parte real e imaginaria del fasor real de referencia, 𝑋 𝑟 y 𝑋 𝑖 .

Los índices de FE y RFE se calculan con los valores real y estimado de la frecuencia y el ROCOF.

El cálculo de la magnitud de los fasores ha considerado la ecuación (5), en su representación discreta, como se muestra en (14). En HYPERSIM se tiene disponible el bloque de valor medio de frecuencia variable, este dispone de dos entradas: la señal de entrada, y la señal de frecuencia; y tiene como salida la señal del valor medio para una ventana móvil en función de la frecuencia.

La señal de entrada se obtiene elevando al cuadrado las mediciones de cada fase. La obtención de la señal de frecuencia se explica en la siguiente sección. De la salida del bloque de valor medio de frecuencia variable se calcula la raíz cuadrada. En la Fig. 5 se muestra la implementación en HYPERSIM, se debe considerar que este modelo realiza el cálculo de la magnitud de una fase.

Figura 5:

Para el cálculo de la frecuencia de se ha considerado el uso del bloque PLL (Phase-Locked Loop) disponible en HYPERSIM. En [13] y [18] se describe a detalle la estructura interna del esquema de control PLL utilizado para la estimación de la frecuencia de una señal sinusoidal. En la Fig. 6 se muestra la estructura interna del PLL disponible en HYPERSIM.

Figura 6:

El control PLL toma como entrada una señal sinusoidal, y tiene como salidas la frecuencia de la señal de entrada, y la velocidad angular en fase a la señal de entrada. De forma similar a la media, el bloque PLL calcula sus salidas en una ventana móvil. El bloque PLL de HYPERSIM requiere que la señal de entrada tenga un valor pico menor a 1, por lo cual, se ha incluido una etapa de normalización aplicada a las señales de medición.

La normalización se logra con el uso de Comparadores y Selectores de HYPERSIM. En un selector de dos entradas se conecta la primera entrada a la señal original, y la segunda aplica una ganancia de 0.5 a la señal original; la señal de control del selector viene de un comparador, que detecta si el valor instantáneo de la señal original supera el límite de 1, y entonces cambia la señal del selector a la señal escalada. Este proceso iterativo se aplica en 10 pasos, y este continuamente escala la señal de entrada.

El PLL se utiliza exclusivamente para el cálculo de frecuencia y ángulo de desfase del sincrofasor, por lo cual la normalización se aplica directamente a la entrada del PLL, y es independiente de la estimación de magnitud.

La señal de la frecuencia se obtiene del uso de un bloque PLL trifásico de HYPERSIM, el cual toma como entrada las señales normalizadas de voltaje o corriente de cada fase. Esta señal de frecuencia es la que se utiliza para la entrada de frecuencia del bloque de valor medio de frecuencia variable, Fig. 5, de la sección anterior.

A partir de la salida de frecuencia del PLL trifásico, se calcula el ROCOF haciendo uso de la derivada en tiempo discreto (15), la cual se ha implementado con el bloque de función de transferencia en tiempo discreto de HYPERSIM, en donde se considera la constante Ts correspondiente al paso de integración de la simulación.

Para el cálculo del ángulo de desfase se utiliza el bloque PLL monofásico de HYPERSIM, el cual toma una señal normalizada para calcular la velocidad angular de cada fase de forma independiente. La salida de velocidad angular del PLL monofásico es una señal diente de sierra, la cual tiene un rango de 0 a 2𝜋, y esta sincronizada a los cruces por cero crecientes de la componente fundamental de la señal de entrada.

En la Fig. 7 se muestra la salida de velocidad angular de un PLL para una entrada de 3 señales sinusoidales.

Figura 7:

La señal de velocidad angular de los PLL de cada fase no es el ángulo de desfase del sincrofasor, ya que solo considera el desfase propio de cada sinusoidal.

Para obtener el ángulo de desfase de los sincrofasores, se parte de una señal de tiempo UTC, obtenida de la interfaz de sincronización de alta precisión, y se le aplica la función Modulo de HYPERSIM, limitando el rango del tiempo de 0 a 60 segundos, esta se multiplica por un valor de 2𝜋∗ 𝑓 𝑛𝑜𝑚 ∗180/𝜋, se ingresa el resultado a la función Coseno de HYPERSIM, y finalmente se obtiene la velocidad angular de esta sinusoidal con un PLL monofásico. Esta velocidad angular esta en fase a la sinusoidal de referencia a frecuencia fundamental sincronizada en tiempo. En la Fig. 8 se presenta el diagrama del modelo implementado en HYPERSIM.

Figura 8:

La señal de velocidad angular de referencia debe ser restada de las señales de velocidad angular de cada fase del voltaje y corriente. A esta señal resultante se le aplican las ecuaciones (16), (17), (18) y (19) de modo que su valor esté entre −𝜋 y 𝜋.

La señal de velocidad angular de referenciada al tiempo UTC, solamente se puede obtener al momento de simular el sistema en tiempo real, debido a que la sincronización en tiempo por GPS solo se activa en este tipo de simulación.

En caso de que se desee usar el modelo de PMU en simulación fuera de línea, la señal Angle_REF puede ser obtenida de la velocidad angular de la fase A del voltaje de la barra de referencia (Barra del Generador SLACK), y en base a esta señal se calculan los ángulos del resto de PMUs presentes en el modelo de simulación. En este caso se obtienen son los fasores del sistema simulado.

En la Fig. 9 se muestra el modelo de PMU implementado en HYPERSIM, con todas las consideraciones revisadas en secciones anteriores.

Figura 9:

El modelo presentado puede tener como entrada la medición trifásica de voltaje o de corriente, y calculará el paquete de datos sincrofasoriales completo (magnitudes, ángulos, frecuencia y ROCOF) para la magnitud que tenga como entrada.

De modo que se mejore la eficiencia computacional del modelo de PMU, considerando que en un entorno de simulación en tiempo real los recursos computacionales son clave para asegurar el correcto desempeño de la simulación, el modelo de la Fig. 8 es independiente al modelo de la Fig. 9. Con esto se consigue que la señal de referencia angular se calcule una sola vez, y dicha señal sea utilizada por todas las PMUs que se instalen en un mismo sistema a simular.

Asimismo, otra optimización tiene lugar al considerar que para obtener los sincrofasores de voltaje y corriente, se necesitan 2 subsistemas de la Fig. 10, uno para cada magnitud, respectivamente. Sin embargo, el estándar C37.118.1 define que el valor de la frecuencia y el ROCOF se obtienen de las mediciones de voltaje, por lo cual, en el subsistema que calcule los sincrofasores de corriente se podría eliminar el PLL trifásico y el derivador, ya que dichas señales no serían utilizadas.

Cada paquete de datos es calculado para todos los pasos de integración que se lleven a cabo, y el modelo de PMU funciona bajo una ventana móvil que avanza Ts en cada paso de integración.

La plataforma de simulación digital en tiempo de OPAL-RT real integrada en el software HYPERSIM hace posible integrar tanto la sincronización con una fuente de tiempo de alta precisión, así como poder realizar el intercambio de datos sincrofasoriales a través del estándar IEEE C37.118.2.

El rendimiento computacional del modelo de pruebas se ha obtenido con la utilización del sistema de 9 Barras de los ejemplos de HYPERSIM. En este sistema se ha colocado una PMU en cada unidad de generación, en cada carga, y en un extremo de cada línea de transmisión. En total se ha implementado 12 PMUs en el sistema, de las cuales, las 3 de las unidades de generación reportan a un sistema WAMS de pruebas en tiempo real.

Tabla 3:

Se ha configurado el sistema para 6 núcleos del simulador, en el núcleo 3 se ha asignado el sistema de 9 barras y las 12 PMUs, los núcleos restantes manejan otros elementos del modelo, y las comunicaciones. Se ha registrado los datos en el monitor de actividad de HYPERSIM, y se han aplicado eventos a la simulación. Los resultados se presentan en la Tabla 3.

Se puede observar que mientras el núcleo 3 usa un máximo de 55.08% de su capacidad los demás núcleos tienen un uso inferior al 5%. De acuerdo con la documentación de HYPERSIM [20], se recomienda que cada núcleo no supere el 50% de su capacidad para evitar overruns. De acuerdo con estos resultados, es posible configurar el sistema a simular para que nuevas PMUs se asignen a otros núcleos, de modo que se consiga aumentar el total de PMUs y la complejidad del sistema de potencia que se desee simular.

Se utiliza el sistema IEEE de 9 barras en ePhasorsim y se aprovecha la integración de dicho paquete con HYPERSIM para calcular los valores de TVE de voltaje y corriente, FE y RFE en estado estacionario y frente a un paso de carga. De ePhasorsim se obtienen los fasores y frecuencia reales, y el ROCOF real se obtiene derivando la frecuencia real, y se comparan contra las estimaciones del modelo de PMU implementado. Los resultados se presentan en la Tabla 4.

Tabla 4:

En la Fig. 10 se muestra evolución en el de los valores de TVE de voltaje y corriente, FE y RFE, para la ventana de tiempo de aplicación del evento paso.

Figura 10:

Al considerar los límites de TVE, FE y RFE de [6] y [7], se observa que, al comparar la estimación de la PMU frente a los fasores reales, se cumple en estado estacionario los 4 indicadores. En estado dinámico se puede observar que el TVE del fasor de corriente supera ligeramente el límite de 1% en una sola muestra, la cual luego del evento se recupera a valores aceptables.

Se utiliza el mismo sistema de potencia de la sección 4.1, y se instala una PMU para monitoreo del generador 1. Para comparar los resultados del modelo de PMU se ha configurado un entorno de simulación en tiempo real en el que los resultados del modelo de PMU se envían a un WAMS de prueba, y con Sampled Values del estándar 61850 se envía datos a un IED SEL 421 configurado como PMU, el cual se monitorea en el mismo WAMS.

Se ha realizado la validación del modelo de PMU considerando su desempeño dinámico frente a eventos de un sistema de potencia simulado en tiempo real, y contrastando los resultados de la estimación fasorial contra los datos de una PMU comercial.

El primer evento que se ha aplicado en el sistema simulado consiste en la desconexión y posterior conexión de una carga adicional en la barra 8 del sistema IEEE de 9 barras. Los resultados de la simulación en tiempo real del modelo de PMU, y de los datos sincrofasoriales del IED SEL 421, se presentan en la Fig. 11.

Figura 11:

De los resultados obtenidos para este tipo de evento se puede observar que en la magnitud de voltaje existe una diferencia de aproximadamente 5 [V] entre los resultados del modelo de PMU y del IED SEL 421, variación mínima considerando que el nivel de voltaje del elemento monitoreado es de 13.8 [kV]. La mayor diferencia se presenta en el ROCOF y la potencia reactiva, principalmente durante los periodos tras la aplicación del evento.

El segundo evento considerado es un cortocircuito aplicado en la barra 8 del sistema IEEE de 9 barras. Se ha considerado un cortocircuito trifásico con una duración de 20 [ms], periodo tras el cual se despeja la falla. Este evento se ha elegido considerando la naturaleza y de mayor afectación sobre las variables eléctricas del sistema, con el fin de determinar el desempeño del modelo de PMU frente a la estimación sincrofasorial de un equipo de protección como es el IED SEL 421. Los resultados de este evento se presentan en la Fig. 12.

Se observa que la magnitud de corriente, la frecuencia, las potencias activa y reactiva, y principalmente el ROCOF, presentan variaciones entre el modelo de PMU y el IED SEL 421 en el periodo de tiempo que el cortocircuito está presente. Una vez este se despeja, los resultados del modelo de PMU vuelven a estar cercanos a los valores del IED SEL 421.

En la Tabla 5 se presenta el error calculado entre las magnitudes y ángulos de voltajes y corrientes, y la frecuencia del modelo de PMU contra el IED comercial para los eventos de paso de carga y cortocircuito, y para estado estacionario. Como referencia se toma los valores del IED SEL 421.

Tabla 5:

Se debe considerar que la señal de la frecuencia es relativamente similar entre el modelo de PMU y el IED, pero el ROCOF presenta una variación notable. En este caso es importante tener en cuenta que, como se explica en [10], los IED de protección suelen tener funciones específicas enfocadas a los esquemas de control y protección de este tipo de equipos.

Figura 12: