El modelo de carga investigado en este trabajo es el modelo Exponential Recovery Load (ERL), el cual se define en las ecuaciones (1) y (2) para la potencia activa y, tal como se observa, es un modelo diferencial de primer orden [8].

Donde: V 0 es la tensión inicial, 𝑉 es la tensión medida por ejemplo por una PMU, 𝑇 𝑝 es una constante de tiempo de recuperación de la potencia activa, 𝑃 𝑟 es la potencia activa de recuperación (es una función de 𝑉), 𝑃 0 es la potencia activa inicial, 𝑃 𝑙 es la potencia activa consumida por la carga (variable de salida), 𝛼 𝑠 es un parámetro para potencia activa en estado estable y, 𝛼 𝑡 es un parámetro para potencia activa transitoria.

Ecuaciones análogas a (1) y (2) se utilizan para el modelo ERL de potencia reactiva.

El proceso de identificación paramétrica tiene como objetivo estimar los tres parámetros del modelo ERL de potencia activa y los tres parámetros del modelo ERL de potencia reactiva, de manera que una vez ajustados, el modelo reproduzca fielmente el comportamiento real de las cargas.

Para el modelo ERL de potencia activa, la idea es encontrar los valores de los parámetros 𝑇 𝑝 , 𝛼 𝑠 y 𝛼 𝑡 que minimicen la función objetivo (3), pero sujeto a las restricciones (4) y (5) [11]. Un proceso análogo se repite para los tres parámetros que definen el modelo ERL de potencia reactiva, con las mismas restricciones (4) y (5).

Donde: 𝑃 𝑖 es la potencia calculada con el modelo de carga ERL, 𝑃 𝑚𝑒𝑑 es la potencia efectivamente medida por una PMU, 𝑛 es la cantidad de muestras de las mediciones. 𝑙𝑏 y 𝑢𝑏 de (4) y (5) son los límites inferiores y superiores, respectivamente, y su orden es: 𝑇 𝑝 , 𝛼 𝑠 y 𝛼 𝑡 .

Los límites superiores (𝑢𝑏) e inferiores (𝑙𝑏) de (4) y (5) han sido establecidos de acuerdo con los valores recomendados en [8]-[13].

Los procesos de identificación paramétrica tienen como base un problema de optimización que se resuelve mediante un algoritmo de optimización. En la literatura existe un gran número de estos algoritmos, sin embargo, en este trabajo se compara el desempeño de los 10 algoritmos mostrados en la Tabla 1, pues son los más utilizados en la literatura en el modelamiento de carga [14].

Tabla 1:

De manera general, los algoritmos de optimización se clasifican en tradicionales y heurísticos. Los tradicionales son utilizados para encontrar mínimos locales en la función objetivo, mientras los heurísticos se enfocan en mínimos globales, sin embargo, estos últimos requieren un mayor poder de cálculo, mayor tiempo de ejecución y, suelen alcanzar una menor precisión, pero generalmente suficiente. Dado que los algoritmos de optimización se encuentran bien documentados en la literatura, no se los detalla en este trabajo. Además, se encuentran ampliamente implementados en programas de uso comercial y gratuitos, como MATLAB y Python. Para profundizar en las características de estos algoritmos se recomienda referirse a [17], sin embargo, es importante mencionar que los 10 algoritmos presentados en la Tabla 1 tienen la capacidad de manejar restricciones de límites superiores e inferiores, como los definidos en este problema de optimización en las ecuaciones (4) y (5).

Con el fin de comparar el desempeño de diversos algoritmos de optimización, resulta indispensable realizar pruebas controladas a nivel de laboratorio. Para ello, se emplean mediciones sincrofasoriales sintéticas generadas mediante simulaciones computacionales. Para esto se plantea el siguiente proceso:

Elegir un sistema de prueba de los de la literatura. Configurar las cargas de este sistema para que se comporten conforme el modelo de carga ERL.

El proceso de identificación paramétrica, descrito en la sección 2.2, se ejecuta para cada barra de carga del sistema de prueba, para cada escenario de operación, y con cada uno de los diez algoritmos de optimización de la Tabla 1. Con el objeto de comparar el desempeño de cada uno de estos algoritmos se utilizan los siguientes cuatro indicadores, los cuales son planteados en [14].

Tiempo de ejecución

Este indicador cuantifica el tiempo que tarda un algoritmo de optimización en encontrar una solución viable, es decir, que minimice la función objetivo y que cumpla con las restricciones. Para que un algoritmo sea adecuado para una metodología de modelamiento de carga automatice y en línea, el objetivo es que este tiempo esté en el orden de unas cuantas decenas de segundo [2].

Cantidad de soluciones viables (CSV)

El indicador CSV representa el porcentaje de escenarios en los que un algoritmo de optimización logra encontrar una solución viable, es decir, minimizar la función objetivo satisfaciendo las restricciones.

Error en la estimación de parámetros (EEP)

El indicador EEP permite cuantificar el error (en porcentaje) asociado a la estimación de los tres parámetros que definen al modelo ERL. Este indicar se calcula por separado para los modelos ERL de potencia activa y reactiva, y se define como sigue:

Donde: 𝑝 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 y 𝑝 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 son vectores que contienen los tres parámetros reales y estimados, respectivamente, del modelo de carga ERL. Los límites inferiores (𝑙𝑏) y superiores (𝑢𝑏) son los mostrados en (4) y (5).

Cabe destacar que el indicador EEP no es aplicable en entornos reales, dado que los valores verdaderos de los parámetros del modelo ERL no son conocidos. A pesar de esto, su utilidad radica en el contexto de simulación, donde permite comparar objetivamente el desempeño de distintos algoritmos de optimización.

Error cuadrático medio estandarizado ( 𝐑𝐌𝐒𝐄 ∆𝐏 )

Este indicador está enfocado específicamente para comparar el desempeño de diferentes métodos de optimización en el modelamiento de carga y se basa en el conocido Error Cuadrático Medio, pero estandarizado con respecto a la magnitud de variación de la potencia (∆𝑃), tal como se observa a continuación:

Donde: 𝑃 𝑖 , 𝑃 𝑚𝑒𝑑 y 𝑛 se definen de forma similar que para (3) y, ∆𝑃 es la magnitud de variación de potencia (activa o reactiva) que se calcula como la diferencia entre el valor máximo y mínimo que alcanza la potencia en la ventana de tiempo a utilizar.

El desempeño de los algoritmos de optimización para la estimación de los parámetros del modelo ERL se evalúa y compara mediante los cuatro indicadores previamente definidos y al utilizar tres tipos de mediciones sincrofasoriales: sin ruido, con ruido, y filtradas (señales con ruido sometidas a una etapa de filtrado). El objetivo es verificar que los algoritmos de optimización mantengan un rendimiento adecuado con estos tres tipos de señales, ya que en [14] se observa que ciertos algoritmos no son robustos frente al ruido (las mediciones sincrofasoriales contienen ruido en el mundo real).

Adicionalmente, se recomienda que los indicadores, exceptuando el tiempo de ejecución, sean analizados en función de la magnitud de variación de tensión (∆𝑉). En particular, resulta crítico observar el comportamiento de los algoritmos ante datos tipo ambiente (∆𝑉<0.03 𝑃𝑈) de PMU, pues son los más comunes y disponibles en los sistemas eléctricos reales.

Tal como se observa en la Figura 1, y una vez definido el mejor método de optimización para estimar los parámetros del modelo de carga ERL, la última etapa consiste en determinar el algoritmo de identificación paramétrica para este modelo. Para esto es necesario: definir los requisitos mínimos en las mediciones sincrofasoriales, en lo que respecta a la mínima variación de tensión que es necesaria para asegurar con gran probabilidad que los parámetros estimados del modelo ERL son precisos y; los valores de 𝑅𝑀𝑆𝐸 ∆𝑃 que indiquen con gran probabilidad que el modelo fue estimado con suficiente precisión.

Para el desarrollo de este trabajo se ha seleccionado y empleado como sistema de prueba el modelo IEEE de 39 barras implementado en PowerFactory, no obstante, de acuerdo con la metodología planteada en la sección 3.1, se han realizado las siguientes adaptaciones:

Las 19 cargas que conforman este sistema han sido configuradas para que se comporten según el modelo ERL, sin embargo, dado que el modelo ERL no está disponible de forma nativa en PowerFactory, se lo ha programado en lenguaje DSL (DIgSILENT Simulation Language).

A partir de lo descrito previamente, se han simulado los escenarios de operación y se han almacenado las correspondientes mediciones sincrofasoriales sintéticas. La cantidad de registros, agrupados por magnitud de variación de tensión (ΔV), se presentan en la Figura 2. La cantidad mínima de registros en las barras de la Figura 2 es de 86, y se da para ΔV entre 0.13 y 0.14 pu.

Finalmente, para evitar sesgos en los resultados de los procesos de identificación paramétrica derivados de una distribución desigual en la cantidad de registros por magnitud de variación de tensión (ΔV), se ha establecido un límite uniforme de 86 registros para cada rango mostrado en la Figura 2. De esta manera, dado que se tienen 63 barras en la Figura 2, se obtiene un total de 63𝑥87=5481 registros.

Figura 2:

Tiempo de ejecución

La Figura 3 presenta los tiempos de ejecución asociados a la estimación del modelo ERL de potencia reactiva, utilizando mediciones sincrofasoriales filtradas. Esta figura contiene diez diagramas de caja, correspondientes a los diez algoritmos de optimización enumerados en la Tabla 1, manteniendo el mismo orden de presentación. La elección de diagramas de caja responde a la necesidad de representar la distribución estadística del tiempo de ejecución calculado para los 5481 registros obtenidos del sistema de prueba.

Al analizar la Figura 3 se concluye que los tiempos de ejecución asociados a la estimación del modelo ERL son reducidos en la mayoría de los casos, con excepción de los algoritmos Genetic Algorithm y Simulated annealing, que presentan una carga computacional significativamente mayor. Este comportamiento sugiere que, salvo los dos algoritmos precitados, los restantes son adecuados para su implementación en esquemas de identificación paramétrica automáticos y en línea del modelo ERL, tal como se requiere en aplicaciones modernas de los sistemas eléctricos.

Por último, cabe señalar que los tiempos obtenidos para la estimación del modelo ERL de potencia activa, así como al utilizar señales con o sin ruido, son idénticos a los de la Figura 3.

Figura 3:

Cantidad de Soluciones Viables (CSV)

La Figura 4 presenta los valores del indicador CSV obtenidos para cada uno de los diez algoritmos de optimización, clasificados según la magnitud de variación de tensión (∆𝑉). Estos resultados corresponden a la estimación de los modelos ERL de potencia activa, aunque los valores alcanzados para el modelo de potencia reactiva (Q) son muy similares.

En la Figura 4 se muestra la comparación del desempeño de los algoritmos bajo dos condiciones: al utilizar mediciones sincrofasoriales sin ruido, Figura 4 a), y al emplear mediciones con ruido más una etapa de filtrado, Figura 4 b).

Al analizar conjuntamente las gráficas a) y b) de la Figura 4 se concluye lo siguiente:

El algoritmo Active-set es el que menor desempeño alcanza, por lo que no se recomienda su utilización en la estimación paramétrica del modelo ERL.

Todos los algoritmos, salvo Active-set, presentan un desempeño ideal al emplear mediciones sin ruido. Por el contrario, al utilizar señales filtradas (en el mundo real las mediciones sincrofasoriales tienen ruido y se las filtra), su desempeño se reduce considerablemente, sobre todo para datos tipo ambiente de PMU (mediciones con ∆𝑉 menores a 0.03 pu [14]), que vale aclarar, son los de mayor disponibilidad en un sistema eléctrico.

Al emplear señales filtradas, Figura 4 b), los algoritmos Simulated annealing y Differential evolution presentan un desempeño menor a los otros algoritmos, por lo que se concluye que no son los más adecuados para esta aplicación.

Los algoritmos Trust-region-reflective, Levenberg-marquardt, Interior-point y SQP, hasta este punto del análisis, son los más adecuados para esta aplicación. Pattern search y Genetic algorithm, aunque tienen un desempeño similar a los otros algoritmos en la Figura 4 b), requieren de considerables mayores recursos computacionales, tal como se observa en la Figura 3.

Error en la Estimación de Parámetros (EEP)

La Figura 5 presenta la media del EEP obtenido para cada uno de los diez algoritmos de optimización, clasificados según la magnitud de variación de tensión (∆𝑉). Estos resultados corresponden a la estimación de los modelos ERL de potencia reactiva, aunque los valores alcanzados para el modelo de potencia activa (P) son similares.

En la Figura 5 se muestra la comparación del desempeño de los algoritmos bajo dos condiciones: al utilizar mediciones sincrofasoriales sin ruido, Figura 5 a), y al emplear mediciones con ruido más una etapa de filtrado, Figura 5 b).

Al analizar conjuntamente las gráficas a) y b) de la Figura 5 se obtienen las mismas conclusiones que para el indicador anterior (CSV), donde, en resumen, se recomienda utilizar cualquiera de los siguientes algoritmos: Trust-region-reflective, Levenberg-marquardt, Interior-point o SQP.

Error Cuadrático Medio Estandarizado ( 𝑹𝑴𝑺𝑬 ∆𝑷 )

En la Figura 6 se presenta la media del indicador 𝑅𝑀𝑆𝐸 ∆𝑃 , clasificado por magnitud de variación de tensión (∆𝑉), al estimar el modelo ERL de potencia activa con mediciones sincrofasoriales filtradas. Una figura similar se obtiene para el modelo ERL de potencia reactiva.

Al analizar la Figura 6 se observa que todos los algoritmos alcanzan 𝑅𝑀𝑆𝐸 ∆𝑃 similares, por lo cual, con base en este indicador, no se puede elegir un algoritmo por sobre otro. Este particular es un gran aporte al estado del arte, pues los pocos trabajos que comparan el desempeño de diferentes algoritmos de optimización en el modelamiento de carga utilizan como indicador el Error Cuadrático Medio (RMSE), sin embargo, en este trabajo se demuestra que los algoritmos, aunque alcanza los mismos valores de RMSE, no tienen el mismo desempeño. Como solución a este problema, justamente se debe investigar el mejor algoritmo de optimización para cada modelo de carga a estimar.

Figura 4:

Figura 5:

Figura 6:

De la sección anterior se concluye que los algoritmos que alcanzan el mejor desempeño para la estimación de los parámetros del modelo ERL son Trust-region-reflective, Levenberg-marquardt, Interior-point y SQP. De estos se podría elegir utilizar cualquiera de ellos.

Una vez escogido uno de estos métodos, y con el fin de proponer un algoritmo de identificación paramétrica, es necesario determinar las características mínimas que deben contener las mediciones sincrofasoriales con el objeto de lograr estimar con precisión los parámetros de los modelos ERL. Para esto se analiza la Figura 4 b), en la cual se observa que a partir con ∆𝑉>0.003 𝑝𝑢 se logra estimar el modelo ERL en el 90% de escenarios. Este es un aporte al estado del arte, pues en ningún trabajo se determina este valor.

Por otro lado, otro tema que se debe definir para proponer un algoritmo de identificación paramétrica es el valor del indicador 𝑅𝑀𝑆𝐸 ∆𝑃 bajo el cual se indique con gran probabilidad que el modelo ERL fue estimado con una precisión suficiente. Esto se da puesto que en el mundo real no se puede calcular el indicador EEP, pero si el 𝑅𝑀𝑆𝐸 ∆𝑃 . Para esto, en la Figura 7 a) se presenta la relación entre el 𝑅𝑀𝑆𝐸 ∆𝑃 y el EEP, clasificado por rangos de 𝑅𝑀𝑆𝐸 ∆𝑃 , para el algoritmo de optimización Trust-region-reflective. Gráficas muy similares a la Figura 7 a) se obtienen para los algoritmos Interior-point y SQP. Por el contrario, para el algoritmo Levenberg-marquardt, esta relación entre 𝑅𝑀𝑆𝐸 ∆𝑃 y EEP se presenta en la Figura 7 b).

Al analizar las dos Figuras 6 se observa claramente que el límite que se debe definir para el indicador 𝑅𝑀𝑆𝐸 ∆𝑃 es 0.03, pues para valores superiores los EEP alcanzados crecen considerablemente.

Por otro lado, un tema bastante particular al comparar la dos Figuras 6 es que, para un 𝑅𝑀??𝐸 ∆𝑃 de 0.03, la Figura 7 a) alcanza menores EEP. Esto quiere decir que los algoritmos de optimización Trust-region-reflective, Interior-point y SQP tienen un desempeño superior a Levenberg-marquardt. Esto es un aporte al estado del arte, pues el algoritmo Levenberg-marquardt es uno de los más utilizados en el modelamiento de carga, sin embargo, en esta investigación se demuestra que existen otros algoritmos que alcanzan mejores desempeños.

Figura 7:

A partir de los resultados previamente obtenidos, se establece el siguiente algoritmo de identificación paramétrica para el modelo de carga ERL:

Recepción de datos: se reciben mediciones sincrofasoriales correspondientes a una barra de carga y con una duración de 10 segundos.